Drgania ciał i powstawanie dźwięku
1. Ruch drgający
Ciało wprawione w ruch drga w charakterystyczny sposób.
- Stan spoczynku drgającego ciała (np. struny monochordu, fortepianu) oznaczamy linią prostą A–B (rys. 1). Punkty A i B to miejsca zaczepienia struny.
- Po wprawieniu w ruch drgający, punkt x wychyla się kolejno w dwóch przeciwnych kierunkach (x₁, x₂), po czym wraca do położenia równowagi. Ruch ten powtarza się cyklicznie, w równych odstępach czasu.
2. Sinusoida i podstawowe pojęcia
Jeżeli ruch drgający punktu x (rys. 1) przedstawimy w postaci wykresu, otrzymamy sinusoidę.
- Każdy punkt sinusoidy odpowiada chwilowemu położeniu punktu drgającego.
- Amplituda (a) – największe wychylenie punktu.
- Pełne drganie – wychylenie w obie strony i powrót do punktu wyjściowego.
- Okres (T) – czas potrzebny do wykonania jednego pełnego drgania.
3. Fale akustyczne
Drgania ciała (rys. 1) przenoszą się na powietrze, wywołując fale akustyczne – rytmiczne zagęszczania i rozrzedzania cząsteczek powietrza.
- Fale te docierają do błony bębenkowej ucha, pobudzając ją do takich samych drgań jak źródło.
- Drgania przekazywane są przez system kosteczek słuchowych do ośrodka słuchowego w mózgu.
Szybkość dźwięku w powietrzu:
- w temperaturze 0°C: ok. 330 m/s,
- w temperaturze 18°C (sala koncertowa): ok. 340 m/s.
Fale w spokojnym powietrzu i w wolnej przestrzeni rozchodzą się równomiernie we wszystkich kierunkach, tworząc warstwy kuliste.
4. Tona a dźwięki złożone
Najprostsze zjawisko akustyczne to ton prosty.
- W praktyce rzadko występuje w czystej postaci (np. generatory elektryczne, widełki stroikowe w fazie wygaszania).
- Zwykle spotykamy drgania złożone – ciało drga kilkoma sposobami równocześnie. Typowy przykład to struna.
5. Drgania struny i szereg harmoniczny
Struna przymocowana w dwóch punktach może drgać:
- całą długością (rys. 3a),
- dzieląc się na 2, 3, 4 części (rys. 3b, 3c, 3d) itd.
Każdy z tych sposobów drgań występuje jednocześnie i niezależnie, z własną częstotliwością.
- Częstotliwość drgań jest odwrotnie proporcjonalna do długości powstałej fali.
- Drgania występują w stosunku częstotliwości 1 : 2 : 3 : 4 …, tworząc szereg harmoniczny.
Przykład (struna wydająca dźwięk a₁ = 440 Hz):
-
- harmoniczna: 440 Hz (ton podstawowy),
- harmoniczna: 880 Hz,
- harmoniczna: 1320 Hz,
- harmoniczna: 1760 Hz itd.
6. Tony składowe i alikwoty
- Ton podstawowy – najniższa częstotliwość, określa wysokość dźwięku.
- Alikwoty – tony składowe uporządkowane według szeregu harmonicznego.
- Między kolejnymi alikwotami występują określone interwały (np. oktawa 2:1, kwinta 3:2, kwarta 4:3).
7. Doświadczenie z fortepianem
Przykład rezonansu:
- Uderzamy dźwięk C, a wcześniej bezgłośnie naciskamy klawisz c (struna podniesiona z tłumika).
- Po wybrzmieniu C zaczyna rezonować struna c, ponieważ w dźwięku C zawarty był ten ton składowy.
- Podobnie można wykrywać inne alikwoty: g, c₁, e₁, g₁, b₁, c₂ itd.
Niektóre alikwoty różnią się nieznacznie od odpowiadających im dźwięków systemu równomiernie temperowanego (np. 7., 11., 13., 14.).
8. Szmery
Dźwięki harmoniczne mają łatwą do określenia wysokość, dlatego używa ich muzyka.
Istnieją jednak zjawiska akustyczne pozbawione wyraźnej wysokości: szumy, stuki, trzaski, zgrzyty.
- Składają się one również z tonów prostych, ale nieuporządkowanych w szereg harmoniczny.
- W akustyce muzycznej określa się je mianem szmerów.
Kiedy wydobywamy dźwięk na instrumencie (np. uderzamy strunę gitary, dęty instrument zadmucha powietrze, pianino uderza młoteczkiem w strunę), nie słyszymy tylko jednej częstotliwości.
- Oprócz tonu podstawowego (najniższego), wibracja naturalnie wytwarza też wyższe dźwięki – alikwoty.
- Te alikwoty są wielokrotnościami częstotliwości tonu podstawowego i układają się w szereg harmoniczny.
Jeśli zagramy C jako ton podstawowy, w szeregu pojawią się:
- C – ton podstawowy (pryma)
- C – oktawa wyżej
- G – kwinta czysta
- C – kolejna oktawa
- E – tercja wielka
- G – kwinta
- B♭ – septyma mała (lekko obniżona w naturze)
- C – kolejna oktawa
- D – nona
- E – tercja wielka
- F♯ (lekko niższe, nie idealne) – undecyma zwiększona
- G – kwinta
- A – tercdecima
- B♭ – septyma mała
- B – septyma wielka (trochę obniżona)
- C – kolejna oktawa
I tak dalej…
Dlaczego to ważne w jazzie?
- Z szeregu alikwotów wynikają akordy durowe i dominantowe – one są w naturze.
- C (1) – E (5) – G (3) – B♭ (7) → C7 (akord dominantowy).
- Alikwoty wyjaśniają, dlaczego niektóre interwały brzmią bardziej „czysto” (kwinta, tercja durowa) a inne bardziej „napięciowo” (septyma mała, nona, undecyma #11).
- Dzięki nim rozumiemy, skąd biorą się kolory akordowe w jazzie – np. nona (9), undecyma (11), tercdecima (13) to po prostu dalsze harmoniczne.
- Improwizacja jazzowa często polega na podkreślaniu lub świadomym „rozciąganiu” alikwotów – np. gramy 9, 11 czy ♯11, żeby dodać napięcia, a później rozwiązujemy.
Wyobraźcie sobie kamień wrzucony do wody:
- fala rozchodzi się w kręgach – pierwszy krąg jest największy (to pryma), a kolejne coraz mniejsze, ale wszystkie razem tworzą pełny obraz falowania.
- Podobnie działa dźwięk: najgłośniejsza jest pryma, ale zawsze obecne są „kręgi” – alikwoty.
Dlatego szereg alikwotów jest „DNA akordu” – tłumaczy, dlaczego akordy brzmią naturalnie, i dlaczego jazz „dokłada” kolejne składniki (9, 11, 13), zamiast kończyć się na trójdźwięku.
C jako ton podstawowy
| Nr alikwotu | Dźwięk | Interwał względem prymy (C) | Komentarz |
|---|---|---|---|
| 1 | C | Pryma | Ton podstawowy |
| 2 | C | Oktawa | Wzmocnienie prymy |
| 3 | G | Kwinta czysta | Fundament akordu durowego |
| 4 | C | Oktawa | Kolejna prymowa „kotwica” |
| 5 | E | Tercja wielka | Nadaje charakter durowy |
| 6 | G | Kwinta czysta | Potwierdza stabilność kwinty |
| 7 | B♭ | Septyma mała (lekko obniżona) | Tworzy dominantę (C7) |
| 8 | C | Oktawa | Uporządkowanie struktury |
| 9 | D | Sekunda wielka (nona) | Kolor jazzowy (C9) |
| 10 | E | Tercja wielka | Wzmocnienie duru |
| 11 | F♯ | Undecyma zwiększona (#11) | „Obcy” kolor lidyjski |
| 12 | G | Kwinta czysta | Kolejne potwierdzenie kwinty |
| 13 | A | Seksta wielka (tercdecima) | Kolor (C13) |
| 14 | B♭ | Septyma mała | Dominanta |
| 15 | B | Septyma wielka | Kolor maj7 (nienaturalny w serii) |
| 16 | C | Oktawa | Zamknięcie cyklu |
- pierwsze alikwoty = akord durowy (C–E–G),
- dodanie 7. alikwotu daje dominantę (C7),
- kolejne alikwoty (9, 11, 13) → kolory jazzowe i rozszerzenia akordów.
Szereg harmoniczny (szereg alikwotów)
Definicja:
Szereg harmoniczny to ciąg tonów składowych (alikwotów), sinusoidalnych fal, na które można rozłożyć dowolny dźwięk.
- Ton podstawowy (najniższa składowa) decyduje o wysokości dźwięku.
- Kolejne alikwoty są wielokrotnościami częstotliwości tonu podstawowego.
- Im wyższy alikwot, tym mniejszy interwał między nim a kolejnym.
Przykład: dla C = 32 Hz szereg wygląda następująco:
Tabela – szereg harmoniczny od C (32 Hz)
| Nr harmonicznej | Częstotliwość (Hz) | Dźwięk | Interwał | Komentarz |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 32 | C | Pryma | Główna składowa (ton podstawowy) |
| 2 | 64 | C | Oktawa | Wzmocnienie prymy |
| 3 | 96 | G | Kwinta czysta | Stabilny składnik akordu C-dur |
| 4 | 128 | C | Oktawa | Potwierdzenie prymy |
| 5 | 160 | E | Tercja wielka | Tworzy akord durowy (C–E–G) |
| 6 | 192 | G | Kwinta czysta | Wzmocnienie kwinty |
| 7 | 224 | (≈B♭) | Septyma mała (obniżona) | Najbliżej B♭ – tworzy akord C7 |
| 8 | 256 | C | Oktawa | Trzecia oktawa od prymy |
| 9 | 288 | D | Sekunda wielka (nona) | Kolor jazzowy (C9) |
| 10 | 320 | E | Tercja wielka | Potwierdzenie duru |
| 11 | 352 | (≈F♯) | Undecyma zwiększona (#11) | „Kolor lidyjski” |
| 12 | 384 | G | Kwinta czysta | Potwierdzenie kwinty |
| 13 | 416 | (≈A) | Seksta wielka (13) | Kolor jazzowy (C13) |
| 14 | 448 | (≈B♭) | Septyma mała | Dalsze wzmocnienie dominanty |
| 15 | 480 | (≈B) | Septyma wielka | Zbliżona do h – kolor maj7 |
| 16 | 512 | C | Oktawa | Cztery oktawy od prymy |
- Pierwsze alikwoty (C–E–G) dają akord durowy.
- 7. harmoniczna (≈B♭) naturalnie tworzy dominantę (C7).
- 9, 11, 13 harmoniczna odpowiadają rozszerzeniom akordów jazzowych (C9, C11, C13).
- Dzięki temu szereg harmoniczny jest naturalnym źródłem harmonii i kolorów akordowych.
Gdzie spotykamy szereg alikwotów w przyrodzie?
- Ludzki głos
- Każdy dźwięk śpiewany albo mówiony zawiera alikwoty.
- Dzięki nim rozpoznajemy różne samogłoski i barwę głosu danej osoby.
- Śpiewacy alikwotowi (np. w Tuwie czy Mongolii) potrafią wydobyć wyraźnie jeden z alikwotów i śpiewać jednocześnie dwa dźwięki.
- Instrumenty strunowe (gitara, skrzypce, fortepian, kontrabas)
- Szarpnięta struna nie brzmi czysto jednym dźwiękiem – drga w całości i we fragmentach (połowach, trzeciach, czwartych).
- To daje kolejne alikwoty. Można je usłyszeć dotykając lekko strunę na progach 12, 7, 5 (tzw. flażolety).
- Instrumenty dęte (trąbka, saksofon, flet, róg)
- Kolumna powietrza w rurze też drga w całości i w podziałach.
- Dzięki temu muzyk na trąbce czy rogu może grać różne wysokości bez użycia wentyli – po prostu zmienia napięcie warg i wybiera kolejne alikwoty szeregu.
- Dźwięki natury
- Szum wiatru, śpiew ptaków, dźwięk fal morskich – zawierają bogactwo alikwotów.
- Jeśli analizujemy spektrogram np. dzwonu kościelnego, to widać wyraźnie cały bukiet alikwotów.
- Zjawiska codzienne
- Brzęk szkła, uderzenie w metal, dzwonienie monety – to też dźwięki złożone z tonu podstawowego i harmonicznych.
Podsumowanie
Szereg alikwotów to uniwersalne zjawisko akustyczne, które pojawia się zawsze, gdy coś drga – w naturze, w ludzkim głosie, w instrumentach muzycznych, a nawet w zwykłych odgłosach otoczenia.
Dzięki niemu muzyka ma barwę, koloryt i bogactwo harmoniczne.
Gdzie spotykamy szereg alikwotów?
| Źródło dźwięku | Jak powstają alikwoty | Jak można je usłyszeć / przykład |
|---|---|---|
| Ludzki głos | Struny głosowe drgają w całości i w podziałach | Barwa głosu, różne samogłoski; śpiew alikwotowy (np. Tuwiński) |
| Instrumenty strunowe (gitara, skrzypce, kontrabas, fortepian) | Struna drga cała i w odcinkach (1/2, 1/3, 1/4 itd.) | Flażolety na progach gitary (12, 7, 5), bogactwo barwy fortepianu |
| Instrumenty dęte (trąbka, róg, saksofon, flet) | Kolumna powietrza w rurze wibruje cała i w częściach | Na trąbce można grać różne wysokości samymi ustami (bez wentyli) – to kolejne alikwoty |
| Instrumenty perkusyjne (dzwony, gongi, talerze) | Metal drga wieloma trybami jednocześnie | Dźwięk dzwonu zawiera widoczne alikwoty (analiza spektrogramu) |
| Przyroda (wiatr, fale, śpiew ptaków) | Naturalne drgania powietrza i materiałów | W szumie fal albo w gwizdaniu ptaków można wychwycić harmoniczne |
| Codzienne dźwięki (szkło, metal, monety) | Każdy przedmiot uderzony drga w wielu częstotliwościach | Brzęk kieliszka czy monety zawiera alikwoty |
W skrócie: wszędzie, gdzie coś drga – tam mamy szereg alikwotów.
Szereg alikwotów na strunie – przykład dla C (struna 32 Hz)
| Nr alikwotu | Podział struny | Częstotliwość (Hz) | Dźwięk | Interwał od prymy | Pozycja flażoletu (gitara/skrzypce) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Struna cała | 32 | C | Pryma | – (otwarta struna) |
| 2 | 1/2 długości | 64 | C | Oktawa | 12. próg |
| 3 | 1/3 długości | 96 | G | Kwinta czysta | ok. 7. próg |
| 4 | 1/4 długości | 128 | C | 2 oktawy | 5. próg |
| 5 | 1/5 długości | 160 | E | Tercja wielka | ok. 4. próg |
| 6 | 1/6 długości | 192 | G | Kwinta | ok. 3,2 progu |
| 7 | 1/7 długości | 224 | ≈B♭ | Septyma mała (nieczysta w temperacji) | trudny do wydobycia |
| 8 | 1/8 długości | 256 | C | 3 oktawy | 1,5 progu |
| 9 | 1/9 długości | 288 | D | Sekunda wielka (nona) | bardzo trudny do uzyskania |
| 10 | 1/10 długości | 320 | E | Tercja wielka | – |
| 11 | 1/11 długości | 352 | ≈F♯ | Undecyma zwiększona (#11) | praktycznie niesłyszalny |
| 12 | 1/12 długości | 384 | G | Kwinta | – |
| 13 | 1/13 długości | 416 | ≈A | Seksta wielka (13) | – |
| 14 | 1/14 długości | 448 | ≈B♭ | Septyma mała | – |
| 15 | 1/15 długości | 480 | ≈B | Septyma wielka | – |
| 16 | 1/16 długości | 512 | C | 4 oktawy | – |
-
Flażolety 12, 7 i 5 progu są najłatwiejsze i najczystsze – dlatego są tak często używane przez gitarzystów i kontrabasistów.
-
Wyższe flażolety (5., 4., 3. próg) pokazują kolejne alikwoty, ale są coraz cichsze i trudniejsze do wydobycia.
-
To praktyczny dowód, że harmonia (C–E–G–B♭–D–F♯–A…) wynika z natury fizycznej struny.
Szereg alikwotów – trąbka w C (bez użycia wentyli)
| Nr alikwotu | Częstotliwość (Hz)* | Dźwięk na trąbce w C | Interwał od prymy | Użycie praktyczne |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 65 Hz | C (kontra) | Pryma | praktycznie nieużywany (zbyt niski) |
| 2 | 130 Hz | C (wielka oktawa) | Oktawa | fundament, czasem stosowany |
| 3 | 195 Hz | G | Kwinta czysta | stabilny dźwięk, łatwy do wydobycia |
| 4 | 260 Hz | C | 2 oktawy | podstawowy dźwięk naturalny trąbki |
| 5 | 325 Hz | E | Tercja wielka | daje kolor akordu durowego |
| 6 | 390 Hz | G | Kwinta | łatwy, często używany |
| 7 | 455 Hz | ≈B♭ | Septyma mała (nieczysta w temperacji) | trudny, w praktyce omijany |
| 8 | 520 Hz | C | 3 oktawy | czysty, bardzo użyteczny |
| 9 | 585 Hz | D | Sekunda wielka (nona) | dodaje barwy |
| 10 | 650 Hz | E | Tercja wielka | naturalne brzmienie duru |
| 11 | 715 Hz | ≈F♯ | #11 (undecyma zwiększona) | kolorystyczny, rzadko używany |
| 12 | 780 Hz | G | Kwinta | czysty, stabilny |
| 13 | 845 Hz | ≈A | Seksta wielka (13) | jazzowy kolor, trudny |
| 14 | 910 Hz | ≈B♭ | Septyma mała | bardziej „czysta” niż 7. harmoniczna |
| 15 | 975 Hz | ≈B | Septyma wielka | bliska h |
| 16 | 1040 Hz | C | 4 oktawy | bardzo wysoki, wymaga dobrej techniki |
*Częstotliwości podane orientacyjnie, liczone od C = 65 Hz (kontra C).
- Naturalna trąbka i róg (bez wentyli) grały wyłącznie te dźwięki – stąd dawne melodie opierały się na szeregu alikwotów.
- Pierwsze alikwoty (C–E–G–B♭–D–A) to nic innego jak naturalne składniki akordu C7(9,13) – fundament jazzowej harmonii.
- To dlatego w jazzie tak chętnie sięga się po nony, undecymy czy trzynastki – one pojawiają się w naturze w szeregu alikwotów!
Podstawowe pojęcia akustyczne
| Pojęcie | Definicja / Opis |
|---|---|
| Drganie | Ruch powtarzający się w jednakowych odstępach czasu, w przeciwnych kierunkach. |
| Amplituda (a) | Największe wychylenie punktu drgającego. |
| Okres (T) | Czas potrzebny do wykonania jednego pełnego drgania. |
| Częstotliwość (f) | Liczba drgań w jednostce czasu (Hz = drgania/sek). |
| Ton | Najprostszy dźwięk powstały z jednego ruchu drgającego. W naturze prawie nie występuje. |
| Ton podstawowy | Najniższa częstotliwość drgań – określa wysokość dźwięku. |
| Alikwoty | Tony składowe tworzące szereg harmoniczny (2., 3., 4. … harmoniczna). |
| Szereg harmoniczny | Zbiór częstotliwości w stosunku 1:2:3:4… |
| Szmer | Złożone dźwięki z tonów prostych, nieuporządkowane harmonicznie (np. szum, trzask). |
| Fala akustyczna | Rytmiczne zagęszczenia i rozrzedzenia powietrza wywołane drganiami ciała. |
Ważne fakty liczbowe
- Prędkość dźwięku w powietrzu:
- 0°C → ok. 330 m/s
- 18°C → ok. 340 m/s
- Struna wydająca a₁ (440 Hz):
-
- harmoniczna = 440 Hz (ton podstawowy)
- harmoniczna = 880 Hz
- harmoniczna = 1320 Hz
- harmoniczna = 1760 Hz itd.
-
- Interwały wynikające z szeregu harmonicznego:
- Oktawa = 2:1
- Kwinta = 3:2
- Kwarta = 4:3